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O jogo, portanto, requer a presença de três elementos: consideração (uma quantia apostada), risco (chance) e um prêmio. [1] O resultado 8️⃣ da aposta geralmente é imediato, como um único lançamento de dados, um giro de uma roleta ou um cavalo cruzando 8️⃣ a linha de chegada, mas prazos mais longos também são comuns, permitindo apostas no resultado de uma futura competição esportiva. ou 8️⃣ mesmo uma temporada esportiva inteira. Os jogos de apostas são importante atividade comercial internacional, com o mercado legal de jogos de 8️⃣ azar totalizando cerca de 335 bilhões de dólares em 2009.[2] Em alguns países, a atividade de jogo a dinheiro é legal. Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer 6️⃣ tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado 6️⃣ o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1] O movimento browniano parado é um exemplo de martingale. Ele pode modelar um jogo 6️⃣ de cara ou coroa com a possibilidade de falência. Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor 6️⃣ esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte. Entretanto, o conhecimento 6️⃣ de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre 6️⃣ os eventos futuros.
